Modélisation en hydrogéologie
1)- Introduction
- Les écoulements souterrains constituent la partie « cachée » du cycle hydrologique.
- Le mouvement de l’eau dans le sous-sol est tres lent par rapport aux vitesses de ruissellement en surface, ce qui implique un long temps de séjours dans le sous-sol et de faibles flux.
2)- Modèles mathématiques
• Un modèle est par définition une représentation simplifiée de la réalité. • Actuellement, les modèles mathématiques sont les plus utilisés. • Un modèle mathématique est constitué d’un ensemble d’équations qui moyennant certaines hypothèses et certaines approximations décrivent le phénomène étudié. • Deux types de modèles mathématiques sont possibles :
- Les modèles déterministes :
• l’approche déterministe d’un problème physique se base sur le principe de causalité par une relation unique : la cause et les résultats. En appliquant ce principe aux écoulements souterrains on obtient :
Ø Une nappe aquifère représentée par ses caractéristiques (paramètre P1,P2,……..Pk) recevant une sollicitation extérieure représentée par des variables indépendantes (X1, X2,………Xn) ; elle réagit d’une seule manière et les variables dépendantes (Y1, Y2,…Yn) fournissent une mesure de cette réaction.
Ø Les paramètres de la nappe peuvent êtres par exemple : la porosité et la transmissivité.
Ø Les variables indépendantes peuvent représenter l’infiltration de la nappe ou le taux de pompage.
Ø Les variables dépendantes peuvent êtres les pressions ou les hauteurs piézométriques.
• L’approche probabiliste :
Ø L’approche probabiliste (stochastique) permet de quantifier exactement l’erreur, mais cette précision est illusoire car elle suppose que le milieu est parfaitement représenté par les fonctions de probabilités des paramètres et des sollicitations, dont cette dernière condition est rarement satisfaite.
Ø Dans la suite de cette synthèse, seules les modèles déterministes sont abordées. Dans ce type de modèle, deux catégories peuvent être distinguées :
1- Les modèles de type « boite noire » fournissent des résultats calculés a une relation totalement empirique.
2- Les modèles physiquement significatifs qui se servent souvent de l’expression mathématique des lois physiques qu’ils simulent.
· Il a été évident que les modèles premier groupe sont peu recommandables car pour qu’une simulation par ordinateur soit fiable, il n’est seulement nécessaire que les résultats numériques utilisés soit précises et fiables, mais également que la description physique converti en données mathématiques du processus devrait être simulés, soit correctes.
· Les modèles hydrogéologiques physiquement significatifs sont basé sur des lois d’écoulement en milieu poreux utilisant comme paramètres : la transmissivité (T) ou la perméabilité (K), le coefficient d’emmagasinement (S).
· Le calcul est réalisé en résolvant l’équation différentielle avec les paramètres spécifiques, les sollicitations extérieures et les conditions aux limites imposées.
· La solution proposée par le modèle consiste en une description de la piézométrie. Cette solution peut être obtenue analytiquement ou par des méthodes numériques.
· Les solutions analytiques sont exactes dans leur développement mathématique mais on suppose des conditions géologiques homogènes et des sollicitations uniformes.
· Les simulations les plus réalistes sont obtenues à l’aide des méthodes numériques telles que les méthodes de différences finies, éléments finis et les éléments de frontières.
Nous avons établis les trois équations de circulations d’un fluide dans un milieu poreux n’ayant de signification que pour des V.E.R. (volume élémentaire représentatif). Conduit à l’équation de diffusivité en négligeant le gradient de la masse volumique dans l’espace. Cette équation définit entièrement l’écoulement et permet de déterminer le champ de charge hydraulique (h). C’est cette équation que les modèles phénoménologiques d’écoulement en milieu poreux s’efforcent de résoudre.
Les solutions analytiques
• Nappe libre à fond imperméable horizontal (sans et avec débit source)
• Nappe captive (épaisseur constante et variable)
• Système à deux portions
Les solutions numériques
Ø La différence entre les solutions analytiques et les solutions numériques
On est obligé d’utiliser une solution numérique des équations d’écoulement et/ou de transport plutôt que des solutions analytiques pour quelques raisons suivantes :
- Le problème est non linéaire (par exemple : la transmissivité T varie avec la charge dans une nappe libre)
- Les propriétés des milieux varient dans l’espace tandis que les solutions analytiques supposent que le milieu est homogène. Ceci s’explique en débit d’écoulement par unité de surface (débit unitaire q).
- Dans les cas où les solutions numériques sont demandées, il faut d’abords décider :
1- Quelle méthode numérique choisir (différences finies, éléments finis)
2- Comment obtenir un code (programme)
Les différences finies : cette méthode est facile à comprendre et à programmer (utilisation de Darcy entre les mailles). Elle est capable de traiter les mailles de n’importe quelle forme et taille.
Les éléments finis : cette méthode est moins facile à expliquer et beaucoup moins facile à programmer que la précédente.
Les conditions aux limites
1- Cas débit imposé
2- Cas de niveau piézométrique imposé (charge imposée)
3- Propriétés de la matrice des transmissivités T.
- Enseignant: NADJAI Saci