Résumé
Ce polycopié est un ouvrage, principalement destiné aux étudiants de première année des filières technologiques et scientifiques.
Le manuscrit couvre une partie de l’algèbre et une partie de l’analyse. La première débute par la logique et la théorie des ensembles, qui sont des fondamentaux en mathématiques. Ensuite nous étudierons les relations et les applications. Puis on discute à la structure algébrique, avec les notions de groupe, anneau et corps et après en termine cette partie par un domaine totalement nouveau pour ces étudiants et très riche, qui recouvre la notion d’espaces vectoriels ainsi que les applications linéaires. Ces concepts, à la fois profonds et utiles, demandent du temps et du travail pour être bien compris.
Le programme officiel de mathématiques supérieures prévoit que les notions apparaissant dans cette partie (logique, ensembles et applications, structures) soient acquises progressivement au cours de l’année, car elles sont à la base de tous les raisonnements usuels (ou de la plupart des erreurs de raisonnement usuelles) de premier cycle d’études. L’étude de la théorie des ensembles (ainsi que l’étude de la logique mathématique) s’est développée à la fin du XIXe siècle et au début du XXe .
Les deux grands noms de l’étude de la théorie des ensembles et de la logique mathématique sont (Georg Ferdinand Ludwig Philipp) Cantor (1845-1918) pour les ensembles et (Kurt) Gödel (1906- 1978) pour la logique. En mathématiques supérieures, nous avons besoin d’un vocabulaire simple mais efficace, des notations de base ainsi que d’un certain nombre de raisonnements types qui seront ensuite utilisés dans tous les autres chapitres.
Le premier chapitre, commun aux deux modules d’Algèbre et d’Analyse, traite des quelques notions et des concepts de bases dont vous aurez besoin durant le reste du cours de mathématiques. Beau- coup de ces notions n’ont pas été vues au lycée et reviendront de façon rémanente tout au long du programme de mathématiques. Il faudra donc les assimiler et se familiariser avec elles au travers d’exercices nombreux et variés.
L’algèbre linéaire est un langage universel qui sert à décrire de nombreux phénomènes en mécanique, électronique, et économie, par exemple.
La deuxième partie débute par l’étude des fonctions : limite, continuité, dérivabilité sont des notions essentielles. Les chapitres suivants sont consacrés aux application aux fonctions élémentaires et développements limités.
L’outil central abordé dans cette partie d’analyse, ce sont les fonctions. Elles interviennent dès que l’on s’intéresse à des phénomènes qui varient en fonction de certains paramètres. Position d’une comète en fonction du temps, variation du volume d’un gaz en fonction de la température et de la pression, nombre de bactérie en fonction de la nourriture disponible : physique, chimie, biologie ou encore économie, autant de domaines dans lesquels le formalisme mathématique s’applique et permet de résoudre des problèmes.
Les développements limités sont l’outil principal d’approximation locale des fonctions. L’objectif de ce chapitre est de vous apprendre à les calculer. Vous aurez essentiellement besoin de savoir manipuler des polynômes, ainsi que d’avoir assimilé les limites, la comparaison des fonctions et la dérivation. Les efforts que vous devrez fournir sont importants : tout d’abord comprendre le cours, ensuite connaître par coeur les définitions, les théorèmes, les propositions... sans oublier de travailler les exemples et les démonstrations, qui permettent de bien assimiler les notions nouvelles et les mécanismes de raisonnement.
Avant de terminer, je vous informe, chers étudiants, que la clé pour résoudre les exercices et les problèmes est une leçon théorique. Comme le dit le proverbe, il m’a appris à attraper un poisson au lieu de m’en donner un tous les jours.
Nous tenons à exprimer notre gratitude et notre reconnaissance aux deux spécialistes anonymes qui ont expertisé ce modeste ouvrage. Grâce à leurs commentaires nous avons pu améliorer la présentation du présent manuscrit dans sa forme et dans son contenu. Nous les remercions pour leur travail consciencieux et professionnel et pour leurs remarques toujours pertinentes.
- Enseignant: BRAIK Abdelkader